Блог ведет Владимир Цивин

Владимир Цивин Владимир
Цивин

Геометрия как ритм

2 мая в 21:48
Говоря об икосаэдре или вообще о правильных многогранниках, мы будем иметь в виду не пространственные конфигурации, а, как правило, будем ограничиваться поверхностью сферы, проходящей через вершины нашего многогранника, на которую мы перенесем ребра и грани многогранника при помощи проекции из центра этой сферы. Таким образом, нашим ближайшим объектом исследования будут разбиения сферы, а термины и, частично, конструкции пространственной геометрии будут употребляться только для удобства изложения.
                                                                                              Ф. Клейн
 
В этом высказывании Ф. Клейна для нас важно не только рассмотрение икосаэдра как правильной периодической фигуры, но и то, что рассматриваются два ортогональные друг другу его изображения (в пространстве и на сфере). Подобным образом, например, волны периодичны не только во времени, но и в пространстве. Именно поэтому они характеризуются, прежде всего, триадой <частота, длина волны, скорость>, где первые два члена связаны общим периодом в пространстве и во времени, который, в свою очередь, связан с триадой <амплитуда, фаза, период>. И поэтому же роль геометрии в физике важна в формализации не только пространства, но и времени, так как в обоих случаях она определяет соответствующий ритм.
Связь геометрии (пространства) с законом всемирного ритма (временем) следует и из следующих слов Клейна [1]: «Однако, и это следует подчеркнуть особо, объектом нашего исследования будут в дальнейшем не столько перечисленные фигуры, сколько те вращения и отражения или, короче, элементарные геометрические операции; с помощью которых наши фигуры совмещаются с собой. Фигуры служат нам лишь основой, каркасом, с помощью которого мы можем наблюдать данную совокупность вращений или других преобразований. Поэтому конкретный правильный многогранник будет для нас неотличим от соответствующей полярной фигуры, которая самосовмещается при тех же преобразованиях. В этом смысле октаэдр не отличим от куба, вершины которого соответствуют центрам граней октаэдра, икосаэдр — от аналогичного додекаэдра. Исходя из того же принципа, мы будем наряду с тетраэдром рассматривать полярный ему контр-тетраэдр (вершины которого диаметрально противоположны вершинам исходного тетраэдра), наконец, в случае диэдра отметим, что два полюса на сфере соответствуют двум граням диэдра».
Кроме того, заметим, что рассмотренная нами выше модель периода всемирного ритма в простейшем случае может быть представлена как квадратичная группа Клейна, определенная им следующим образом: «В случае n=2 сделаем фигуру диэдра определенной, выбрав из бесчисленного множества больших окружностей, соединяющих две вершины, один экватор, и зафиксируем соответствующие два полюса. Тогда главная ось вместе с двумя осями второго порядка образует ортогональную триаду, и мы получаем группу из 2n=4 вращений. Если ввести обычным образом координаты с помощью этих трех осей, то точки x, у, z переводятся диэдральными вращениями в точки x, -у, -z; -x, y, -z; -x, -у, z».
Соответственно, отсюда следует, что рассматриваемые Клейном правильные многоугольники и их группы вращений отражают ритм времени, кратный 12. Так, например, по его словам: «группа тетраэдра состоит из 12 вращений», причем, она «кратно изоморфна циклической группе из трех элементов», кроме того, «Группа тетраэдральных вращений изоморфна группе соответствующих перестановок диагоналей куба, в результате чего получаются ровно те 12 перестановок четырех диагоналей, которые мы привыкли называть четными перестановками», а «октаэдральная группа содержит 12 вращений тетраэдральной группы и притом, как мы можем предполагать заранее, в качестве нормальной подгруппы», и «вдобавок к этому возникают еще 12 вращений, переставляющих тетраэдр с его сопряженным, так что группа октаэдра содержит 24 элемента. Поэтому группа октаэдра просто изоморфна группе всех перестановок 4 элементов».
А далее Клейн отмечает: «Для исследования группы икосаэдра вообразим, что на сфере отмечены 12 вершин икосаэдра, 20 вершин двойственного ему додекаэдра и 30 точек, соответствующих серединам ребер икосаэдра. 12 вершин соединяются попарно 6 диаметрами, которые мы будем кратко называть диагоналями икосаэдра. Аналогично 20 вершин додекаэдра соединяются 10 диаметрами — диагоналями додекаэдра. Наконец, введем 15 перекрестных линий, соединяющих середины противоположных ребер и убедимся, что общее число вращений икосаэдра равно 60», причем, «группа из 60 вращений икосаэдра просто изоморфна группе из 60 четных перестановок 5 элементов». Откуда он утверждает, что если задать 20 вершин додекаэдра и 30 середин ребер (концов 15 перекрестных линий), то получим системы из 20 и 30 точек на сфере, которые переходят в себя при всех 60 икосаэдральных подстановках. Причем, точки на сфере под действием этих подстановок в общем случае группируются по 60, и это число уменьшается лишь в трех случаях до 12, 20 и 30 — когда мы имеем дело с вершинами икосаэдра, вершинами додекаэдра или серединами ребер соответственно.
И в результате, по его словам: «Любой набор точек,переходящий в себя под действием группы икосаэдра, должен составляться из описанных групп сопряженных точек. Поэтому число точек в таком наборе имеет вид a60+b12+c20+d30, где а, b, c, d — целые неотрицательные числа, причем b, c, d дают кратности, с которыми этот набор содержит вершины икосаэдра, вершины додекаэдра и середины их ребер». И при всем при этом, по словам А. Гротендика: «Воистину с восхищением я обнаружил богатства комбинаторики икосаэдра, а ведь эта тема совсем не затронута (может быть, даже не замечена) Клейном в его классической книге об икосаэдре».
Но нас интересует не столько геометрия, сколько физика, поэтому, кроме того, заметим, что, так как 12=(12+0*8)=(12+0)-2, 20=(12+1*8)=(12+10)-2, 30=(12+2*8)=(12+20)-2, 60=(12+6*8)=(12+20+30)-2, то можно считать, что числа <12, 20, 30> образуют триаду. Причем, в этой триаде число 12 соответствует числу месяцев в году и периоду орбиты Юпитера, число 30 – числу дней в месяце и периоду орбиты Сатурна. А у числа 20 таких аналогов нет, можно лишь заметить, что оно составляет треть от числа 60, подобно тому как 4 является третью от 12. А, как мы покажем ниже, трети (третели и трелеты) играют существенную роль в ритме космического времени. Обращает на себя внимание также роль числа 12, как в правильных многогранниках, так и в Солнечной системе и в соотношениях между единицами измерения времени. В этом смысле, знаменательно, что непосредственный предтеча классической физики И. Кеплер начал с построения модели Солнечной системы в виде вложенных друг в друга правильных многогранников Платона.
Таким образом, связь геометрии, физики и астрономии, сыгравшая основополагающее значение в создании классической физики, снова выступает на первый план в создании физической истории или исторической физики (хронодинамики). Поэтому, по словам Г. Гегеля: «Велика заслуга познать эмпирические числа природы, например, взаимные расстояния планет; но еще неизмеримо большая заслуга заставить исчезнуть эмпирические определенные количества, возвысив их до общей формы количественных определений так, чтобы они стали моментами закона или меры. Заслуга Галилея и Кеплера в том что они доказали найденные ими законы, показав, что им соответствует весь объем воспринимаемых частностей. Надо требовать однако еще высшего доказательства этих законов; чтобы их количественные определения были познаны из качеств или определенных соотносящихся понятий (каковы время и пространство)». Так, например, по словам Г. Гегеля: «Требование, чтобы содержание подверглось обработке и было развито, становится после этого еще настоятельнее. В ходе развития той или иной эпохи, как и в ходе развития отдельного человека, бывает период, когда дело идет главным образом о приобретении и отстаивании принципа во всей его неразвитой напряженности. Но более высокое требование состоит в том, чтобы этот принцип развился в науку».
 
 
Оставить комментарий
 
Вам нужно войти, чтобы оставлять комментарии



Комментарии (0)

    Пока никто не написал