Блог ведет Владимир Цивин

Владимир Цивин Владимир
Цивин

Ортофизический натуральный ряд

11 ноября в 10:48
1.5. Арифметика ортофизических пространств  

По тому и узнается мастер, что, преследуя высшую цель, он намеренно совершает ошибку.
                                                                                                И. Гете
 
1.5.1. Ортофизический натуральный ряд  

Процесс различения составляет сущность познания и может быть прослежен на всем пути развития человека — от примитивного годовалого ребенка до высокоразвитого, зрелого ученого. Но часто, оглядываясь назад, мы обнаруживаем в массе наших прежних впечатлений черты сходства между вещами, которые ранее представлялись совершенно различными. Не менее часто, напротив, мы обнаруживаем существенное различие между вещами, которые представлялись нам совершенно подобными.
                                                                                                Я.И. Френкель
 
В этом высказывании Я.И. Френкеля, по сути, содержится диалектическая мысль о том, что противоположности сходство и различие всегда одновременны, образуя диаду. На этом основаны как все отношения и взаимодействия реальных предметов, так и все абстрактные теории. Ибо, как в реальных отношениях и взаимодействиях, так и в теоретических отношениях и операциях всегда проявляется только какое-то одно свойство или один комплекс свойств, которые являются общими для взаимодействующих объектов. Таковыми, например, являются пространственные свойства, составляющие основу не только физики, но и математики, что и позволяет этим наукам взаимодействовать друг с другом. Таковым является и натуральный ряд чисел, являющийся, по сути, основой математической формализации. Ибо, как в природе, так и в теории, наука всегда должна выделить некоторую систему упорядоченным образом взаимосвязанных реальных свойств и соответствующих им теоретических понятий с заданными отношениями и операциями между ними.
А такой простейшей системой и является натуральный ряд чисел, который, по сути, есть модель как любого другого ряда чисел, так и одномерного пространства. Поэтому, исходя из сформулированных выше аксиом, можно определить более общее понятие ортофизического натурального ряда понятий, частным случаем которого будет ряд натуральных чисел. Ибо, если всякое число можно считать понятием, то не всякое понятие можно считать числом. Но при этом такие свойства натурального ряда как строгая упорядоченность его членов и однозначность их отношений между собой сохраняются, в соответствие с диадой <изменчивость, инвариантность>, являющейся основой любой системы. Так, например, ведь подобным же образом, сведением их к различным видам алгебраических структур, в конце концов, были упорядочены не только геометрические понятия, но и геометрические теории. По сути то же самое произошло и в физике. А это означает, что физику надо не столько геометризировать, сколько алгебраизировать, ибо более глубокой основой математики, чем геометрия, всё же является натуральный ряд чисел. И тем более, что аксиомы, с помощью которых определяется натуральный ряд чисел, по своей лаконичности больше похожи на постулаты физики, чем аксиомы геометрии.
Поэтому не случайно существующие различные варианты аксиоматики натуральных чисел можно представить триадами: <единица, сумма, произведение>, <единица, натуральное число, следовать>, <единица, сумма, ряд>. Причем, только второй из них не является алгеброй, это аксиоматика Пеано. Отсюда множество всех возможных аксиоматик натурального ряда и его обобщений (поскольку все числовые системы являются обобщением натурального ряда) может быть сведено в единую систему. В ней множество исходных понятий, по сути, представляет собой триаду отношений следования <соседний, предшествующий, последующий>, указывающих на взаимное относительное положение членов в пространстве ряда. При этом предполагается, что в качестве единицы может быть выбран любой член ряда, поэтому ее не надо специально определять, тем более что основные принципиальные свойства ряда не зависят от выбора единицы. Следовательно, ряд рассматривается с точностью до выбора его единицы. Тем самым, остается открытым вопрос и о первом члене ряда. В результате, эта триада оказывается некоторой дифференциальной характеристикой ряда, его общим членом.
Можно и наоборот, определить ряд через его единицу, которая является одновременно и его первым членом и функцией следования, считая, что понятие сложения известно, как и понятие ряда (группы). Единицу, в этом случае, можно считать членом, следующим за нулем (или суммой с нулем). Ноль же считать пустым членом. Тогда аксиома индукции лишь постулирует возможность существования ряда, как такового, и есть, по сути, триада <1, n, n+1>, где 1 и n условие, а (n+1) - следствие, что дает возможность выводить общие свойства натурального ряда. Метод математической индукции (трансфинитная индукция, если вместо ряда натуральных чисел рассматривается любое вполне упорядоченное множество) может быть определен следующим образом. Если для утверждения Р(n), где n - натуральное число, верно, что Р(1) верно, то из верности Р(k) для всех k<=n следует верность P(n+1), тогда Р(n) верно для всего ряда. А так как в силу теоремы Цермело всякое множество можно вполне упорядочить, трансфинитная индукция может быть применена к любому множеству. Но удобнее пользоваться заменяющей ее леммой Цорна (если всякая цепь в частично упорядоченном множестве имеет верхнюю грань, то всякий элемент этого множества подчинен некоторому максимальному (т.е. всякая цепь содержится в некоторой максимальной цепи - теорема Хаусдорфа)), которая опирается лишь на наличие частичной упорядоченности в множестве.
Заметим, что следует отличать единицу как натуральное число 1, от единицы как величине приращения обобщенного натурального ряда или ряда, как такового. В случае, если ряд формируется с помощью более сложной функции следования, единица будет называться по-другому. Арифметический ряд (прогрессия 1-го порядка) можно определить как ряд, в котором каждый член получается из предыдущего с помощью прибавления постоянного числа (разности d), общий член a(n)=a+(n-1)d, характеристическое свойство a(n)=[a(n-1)+a(n+1)]/2, сумма членов s=[a(1)+a(n)]n/2. А натуральный ряд есть частный случай арифметической прогрессии. Если арифметический ряд есть последовательность значений многочлена по степеням m целых чисел, то при m=1 получается арифметическая прогрессия p(x)=a+bx с начальным членом а и разностью b. Из разностей соседних членов арифметического ряда можно составлять новые арифметические ряды до тех пор, пока не получится ряд из всех единиц. В том числе 1, 3, 6, … n(n+1)/2 - треугольные числа (обобщением их являются многоугольные и фигурные числа), тетраэдрические числа 1, 4, 10, 20, … n(n+1)(n+2)/6 и т.д.
Таким образом, в качестве множества обобщенных понятий натурального ряда можно определить триаду натуралов <(n-1)-мер, (n)-мер, (n+1)-мер> (n - натуральное число), определяющую ряд (m)-меров (m=0,…,n+1), удовлетворяющий триаде отношений <инцидентность, ординальность, конгруэнтность>, а m можно называть также уровнем или размерностью натурала. При этом под натуралом понимается обобщение понятия натурального числа, под инцидентностью - обобщение понятия связность, под ординальностью - обобщение понятия различие, под конгруэнтностью - обобщение понятия равенство. Отсюда под инцидентностью можно понимать принадлежность, пересечение, под ординальностью - порядок, последовательность, под конгруэнтностью - равенство, эквивалентность, что позволяет избежать нежелательной синонимичности. Это единственное, что можно сказать для поддержки интуитивного понимания. Все натуралы (геомеры) как (n)-меры одинакового уровня конгруэнтны, а различного уровня – ординальны с противоположными знаками, третьего не дано. При этом все предшествующие уровни всегда инцидентны всем последующим и наоборот, но с противоположным знаком. Равны могут быть не только члены ряда как таковые, но и члены в разложениях членов ряда на слагаемые. Тем самым ортофизический натуральный ряд позволяет установить диалектическое соответствие между понятием и числом на ортофизическом уровне, более высоком не только, чем чисто математический, но и чем чисто физический. А это означает, что появляется возможность как на физику, так и на математику взглянуть с более общих диалектических позиций, не только сохраняя при этом достигнутый в ней уровень формализации, но и еще более развивая его. Так, например, на этом уровне открывается возможность аксиоматизация физики и физикализации математики, ибо, по сути, любой ряд чисел, подобно натуральному ряду, как актуальная бесконечность может рассматриваться как пространство, а как потенциальная бесконечность как время.
 
Оставить комментарий
 
Вам нужно войти, чтобы оставлять комментарии



Комментарии (0)

    Пока никто не написал